[2016년 가좌고]

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[2학년 1학기 중간 기하와 벡터]

포물선 [eqn: y ^{2} =-4x]의 초점의 좌표는?

⑤

① [eqn: (-4,```0)]	② [eqn: (4,```0)]	③ [eqn: (0,```1)]

④ [eqn: (0,```-1)]	⑤ [eqn: (-1,```0)]

두 점 [eqn: (2,```0)], [eqn: (-2,```0)]에서의 거리의 합이 [eqn: 6]이 점의 자취의 방정식은?

③

① [eqn: {x^2} over {5 }+ y^2 over 3 =1]	② [eqn: x^2 over3 + y^2 over5 =1]	③ [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 5 =1]

④ [eqn: x^2 over 5 + y^2 over 9 =1]	⑤ [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 6 =1]

두 점 [eqn: (3,```0)], [eqn: (-3,```0)]에서의 거리의 차가 [eqn: 4]인 점의 자취의 방정식은?

④

① [eqn: {x^2} over {4 }- y^2 over 9 =1]	② [eqn: x^2 over9 - y^2 over4 =1]	③ [eqn: x^2 over 5 - y^2 over 4 =1]

④ [eqn: x^2 over 4 - y^2 over 5 =1]	⑤ [eqn: x^2 - y^2 over 2 = -1]

한 점 [eqn: (0,```3)]과 직선 [eqn: y=-3]에서 같은 거리에 있는 점의 자취의 방정식은?

⑤

① [eqn: y^2 = 3x]	② [eqn: x^2 = 3y]	③ [eqn: y^2 =8x]

④ [eqn: y^2 = 12x]	⑤ [eqn: x^2 = 12y]

타원 [eqn: x^2 over 25 + y^2 over 9 = 1]위의 한 점 [eqn: rmP( {5 sqrt {3}} over {2} ,``` {3} over {2} )]과 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']으로 이루어진 삼각형 [eqn: rmPF prime F]의 넓이는?

②

① [eqn: 2 root6]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 3 root6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 4 sqrt {6}]

이차곡선 [eqn: x^2 + y^2 + 2x-1 + k(x^2 +2y^2 -1)=0]이 쌍곡선이 되는 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: alpha <k<beta]일 때, [eqn: alpha +beta]의 값은?

①

① [eqn: - 3over 2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - 1over 2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1 over 2]

그림은 포물선 [eqn: y^2 = 4x] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 두 점 [eqn: rmF(1,```0)], [eqn: rmA(5,```3)]을 연결한 것이다. 이 때 생기는 [eqn: rmTRIANGLE FAP]의 둘레의 최솟값은?

②

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

초점의 좌표가 [eqn: (± sqrt {5} ,```0)]이고, 점근선이 [eqn: y= +- 1over2 x]인 쌍곡선의 주축의 길이는?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 root2]	⑤ [eqn: 4]

쌍곡선 [eqn: x^2 over 9 - y^2 over16 =1]에 대하여 [eqn: x]좌표가 양인 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선이 쌍곡선의 [eqn: x>0]인 부분과 만나는 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하자. [eqn: rmTRIANGLE AF prime B]의 둘레의 길이가 [eqn: 20]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

포물선 [eqn: y^2 =x] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: x+2y+2=0] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ]의 길이의 최솟값은?

③

① [eqn: 3over 4]	② [eqn: {3root2} over 4]	③ [eqn: root5 over 5]

④ [eqn: 3 over 8]	⑤ [eqn: { 3 root2} over {8 }]

길이가 [eqn: 3]인 선분 [eqn: rmAB]의 한 끝 [eqn: rmA]가 [eqn: x]축 위를 나머지 한 끝 [eqn: rmB]가 [eqn: y]축 위를 움직일 때, [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]으로 내분하는 점 [eqn: rmP]가 그리는 도형의 방정식은?

①

① [eqn: {x^2} over {4 }+ y^2 =1]	② [eqn: x^2 over3 + y^2 over5 =1]	③ [eqn: x^2 over 5 + y^2 over 3 =1]

④ [eqn: x^2 over 5 + y^2 over 9 =1]	⑤ [eqn: x^2 over 9 + y^2 over 5 =1]

쌍곡선 [eqn: 9x^2 -16y^2 =144]의 한 초점에서 점근선까지의 거리는?

④

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over2]

그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 = 1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']라 할 때, 점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 이 타원과 만나는 두 점을 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 삼각형 [eqn: rmF prime PQ]가 한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정삼각형이 되도록 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정할 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값은?

③

① [eqn: 50]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 70]

그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over 36 + y^2 over 16 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF']이라 하고, 이 타원의 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 지름의 양 끝점으로 하는 원이 있다. 이 타원과 원의 한 교점을 [eqn: rmP]라 할 때, [eqn: rm bar{PF} cdot bar{PF prime }]의 값은?

④

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 35]

밑면의 지름이 [eqn: 4]이고 높이가 [eqn: 8]인 원기둥 모양의 컵에 물을 채운 후 그림과 같이 컵의 반만 물이 차도록 기울였을 때, 수면이 컵과 맞닿은 부분은 타원을 이룬다. 이 타원의 두 초점 사이의 거리는?

②

① [eqn: 15 over 2]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 17 over 2]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 19 over 2]

그림과 같이 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y^2 = 12x] 위에 [eqn: rmANGLE OFA=45 DEG]인 점 [eqn: rmA]가 있다. 선분 [eqn: rmAF]의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이고 점 [eqn: rmA]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

④

① [eqn: 12-3 root14]	② [eqn: 12-6 root3]	③ [eqn: 12-3 root10]

④ [eqn: 12-6 root2]	⑤ [eqn: 12-3root6]

그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over 8 + y^2 over 2 =1]에 내접하는 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 최대일 때, [eqn: bar{rmAC}]의 값은? (단, 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC]는 각각 제 [eqn: 1], [eqn: 3]사분면 위의 점이다.)

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 2 root5]	③ [eqn: 2 root 6]

④ [eqn: 2 root7]	⑤ [eqn: 4 root2]

서술형

포물선 [eqn: y^2 = 8x]의 초점을 [eqn: rmF]이라고 하자. 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 [eqn: root3]인 직선과 포물선 [eqn: y^2 = 8x]와의 교점을 [eqn: rmA]라 하고 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABF]의 넓이를 구하고 풀이과정을 서술하시오. (단, 점 [eqn: rmA]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[eqn: 12 sqrt {3}]

그림과 같이 원 [eqn: (x+3)^2 +y^2 = 100]와 점 [eqn: rmA]에서 내접하면서 동시에 원 [eqn: (x-3)^2 + y^2 = 4]과 점 [eqn: rmB]에서 외접하는 원의 중심을 [eqn: {rmP}(x,```y)]라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: 12]

(2) [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {27} =1]

(1) 점 [eqn: rmC(3,```0)]와 [eqn: rmD(-3,```0)]에 대하여 [eqn: rm bar{PB} = bar{PA}]를 이용하여

[eqn: rm bar{PC} + bar{PD}]의 값을 구하고 풀이과정을 서술하시오.

(2) 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하고 풀이과정을 서술하시오.

그림과 같이 [eqn: y]축 위에 있는 점 [eqn: {rmA}(0,```a)]와 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']을 두 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: x^2 over 9 - y^2 over 16 =1] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. [eqn: rm bar{PA} + bar{PF}]의 최솟값이 [eqn: 19]일 때, [eqn: a^2]의 값을 구하고 풀이과정을 서술하시오. (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 2]사분면에 있거나 제[eqn: 3]사분면에 있는 점이다.)

[eqn: 144]

그림은 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 각 변을 장축으로 하고, 단축의 길이가 같은 타원 [eqn: 4]개를 그린 것이다. 그림과 같이 정사각형의 꼭짓점과 이웃하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼각형(그림에서 색칠한 이등변삼각형) [eqn: 4]개의 넓이의 합이 [eqn: 2]일 때, 타원의 단축의 길이를 구하고 풀이과정을 서술하시오.

[eqn: 2 sqrt {5}]

[2016년 가좌고]

[2학년 1학기 중간 기하와 벡터]

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